LINEAR SYSTEM
二元一次方程组，消元一步出解。
填入两个方程的四个系数 a、b、c、d 与常数 e、f，自动消元求出 x 与 y。三种情形都会识别：唯一解（行列式不为零）、无解（两直线平行不相交）、无穷多解（两直线重合）。分数解会化到最简形式，解析里给出代入消元与克莱姆法则两条路径。
① ax + by = e
② cx + dy = f
本页处理在浏览器本地完成
怎么用？
按 ax + by = e、cx + dy = f 的顺序填六个数（每行三个：x 系数、y 系数、常数），点求解即得 x 与 y。若行列式 ad − bc = 0，方程组没有唯一解：两直线平行且不重合时提示无解，完全重合时提示无穷多解。解析给出「代入消元」和「克莱姆法则」两种解法，分数结果会约到最简。练习模式随机生成有整数解的方程组。
常见问题
什么时候没有唯一解？
当行列式 D = ad − bc = 0 时两直线平行或重合：若再满足常数项也成比例，两直线完全重合，有无穷多解；否则平行但不相交，无解。也就是「要么有一个解，要么没有，要么无数个」，不存在别的情形。
消元法和克莱姆法则哪个更该用？
消元法（加减消元）是初中必学方法，考试必须会用，本页解析第一步就是它；克莱姆法则（用行列式直接算）是高中内容，在系数复杂时更快。两者在本页都会给出，可以互相验算。
为什么结果常常是分数？
整数系数不代表整数解：例如 x + 2y = 5、2x + 3y = 9 的解是 x = 3、y = 1；而 2x + 3y = 7、3x + 5y = 12 解得 x = −1、y = 3。出现分数很正常，本页会约到最简并标出分子分母。
数据会上传吗？
不会。所有计算与出题都在浏览器本地完成，不发送任何网络请求。
示例与注意事项Example & notes
一个例子A worked example
解 x + 2y = 5 与 2x + 3y = 9：填入 a=1、b=2、e=5、c=2、d=3、f=9，得 x=3、y=1，行列式 D=−1。Solve x + 2y = 5 and 2x + 3y = 9: enter a=1, b=2, e=5, c=2, d=3, f=9 and you get x=3, y=1 with determinant D=−1.
注意事项Things to watch
- 顺序不能填反：每个方程是「x 系数、y 系数、常数」，两行分别对应第一式与第二式。Keep the order: each equation is "x coefficient, y coefficient, constant", the two rows being equation 1 and equation 2.
- 分数解会约到最简（写成分子/分母），交换两式顺序结果不变，可放心对照。Fractional answers are reduced to lowest terms and do not change when you swap the two equations.
- 行列式为 0 时只有两种可能：无解（平行）或无穷多解（重合），工具会分别提示。When the determinant is 0 there are only two possibilities: no solution (parallel) or infinitely many (coincident) — the tool tells them apart.
相关问答More Q&A
为什么有的方程组算出的是分数？Why do some systems give fractions?
整数系数不代表整数解。例如 2x + 3y = 1 与 4x + 6y = 5 无解，而 2x + 3y = 7 与 3x + 5y = 12 的解是 x=−1、y=3；换成别的系数就可能出现分数解。Integer coefficients do not guarantee integer solutions: 2x + 3y = 1 with 4x + 6y = 5 has no solution, while 2x + 3y = 7 with 3x + 5y = 12 gives x=−1, y=3. Other coefficients simply produce fractional answers.
无穷多解时怎么写全部解？How do I write all solutions when there are infinitely many?
两式重合时其实是同一条直线，把其中一个未知数取任意值 t，另一个用直线方程解出即可。例如 2x + 3y = 6 的全部解是 x=t、y=(6−2t)/3（t 为任意实数）。When the two equations coincide they are the same line: pick one unknown as a free parameter t and solve the other from the line equation, e.g. all solutions of 2x + 3y = 6 are x=t, y=(6−2t)/3 for any real t.